Arduino カルマンフィルタ ライブラリの中身を解説

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 Arduinoのライブラリにカルマンフィルターがあるのですが、中身がどういうことをやっているのか勉強を兼ねて見てみました。

 

 IDEでライブラリ検索するとカルマンフィルターでいくつかヒットするのですが、今回はこのライブラリのプログラム(ソース)をカルマンフィルターの説明を加えながら見てみたいと思います

 https://github.com/TKJElectronics/KalmanFilter

 

 このカルマンフィルターですが、加速度、角速度と制御周期を入力として、カルマンフィルターを通して、きれいな角度を推定しているライブラリとなります。ただ後述しますが、このライブラリは3軸(3D)回転がある場合には対応していないようですね。

 

 カルマンフィルターの説明を加えながら中身を見ていきたいと思います。(説明といっても基本式を展開して、ソースと一致しているか見ているだけです・・・。)

 

状態空間モデル

▼状態方程式はこんな感じで定義しているようです▼

 (※以降、添え字は適当です。無視して下さい・・・。)

 ωbはバイアス誤差です。

 

▼それぞれこのように置いて▼

 

▼行列で表現すると▼
 

 このような感じになります。状態ベクトルは角度とバイアス誤差、入力は角速度で定義。バイアス誤差は直接測定できないので、過去の値を持ってくるようです。少し腹落ちしない感じですが、、、。

 

 ▼観測方程式は▼

加速度センサーから角度を観測してます。

 

 ここからライブラリのソースと絡めて見ていきたいと思います。(式を展開していき、ソースと一致していくか見ていきます)

 

 ステップ毎に見ていきたいと思います。まずは予測ステップから。

 

STEP1(状態の予測)

▼ソース▼

    /* Step 1 */
    rate = newRate - bias;
    angle += dt * rate;

 角速度から角度計算している部分です。ソースの表現(式)を少し変えてみると

 

    angle = angle + dt*(newRate -bias);

となって、状態方程式

と同様です。単純に角速度(バイアス誤差を加味)からの積算で現在の角度を予測してます。

 

ステップ2(誤差共分散の予測)

▼ソース▼

    /* Step 2 */
    P[0][0] += dt * (dt*P[1][1] - P[0][1] - P[1][0] + Q_angle);
    P[0][1] -= dt * P[1][1];
    P[1][0] -= dt * P[1][1];
    P[1][1] += Q_bias * dt;

 誤差共分散の予測部のソースはこのようになってます。

 

 カルマンフィルターの式に当てはめていくと

 となって、ソースと同様になります。

 

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 ここから更新ステップを見ていきます。

 

STEP3(観測残差)

▼ソース▼

    /* Step 3 */
    float y = newAngle - angle; // Angle difference

 このようになってます。「観測値(加速度からの角度)」から「STEP1で予測した角度」の差分となります。

 

 観測残差の当てはめて、式を展開していくと

 このようになります。少し腹落ちしないですが、ソースと同様なので間違いではないのかと・・・。

 

STEP4(観測残差の共分散)

▼ソース▼

    /* Step 4 */
    float S = P[0][0] + R_measure; // Estimate error

 ソースはシンプルですね。

 

 カルマンフィルターの式に当てはめて展開していくと

 このようになってソースと一致します。

 

STEP5(カルマンゲインの更新)

▼ソース▼

    float K[2]; // Kalman gain - This is a 2x1 vector
    K[0] = P[0][0] / S;
    K[1] = P[1][0] / S;

 ここもソースはシンプルですね。

 

 同様にカルマンフィルターの式を展開していくと

 2×1の行列となり、ソースと同様です。

 

STEP6(状態の更新)

▼ソース▼

    /* Step 6 */
    angle += K[0] * y;
    bias += K[1] * y;

予測値を更新している部分です。角度、バイアス誤差の更新をしてます。

 

 カルマンフィルターの式から展開していくと

 このような感じになり、ソースと同様になりますが、ここも少し消化不足です・・・。

 

STEP7(誤差共分散の更新)

▼ソースではこのように計算してます▼

    /* Step 7 */
    float P00_temp = P[0][0];
    float P01_temp = P[0][1];

    P[0][0] -= K[0] * P00_temp;
    P[0][1] -= K[0] * P01_temp;
    P[1][0] -= K[1] * P00_temp;
    P[1][1] -= K[1] * P01_temp;

 最後に誤差共分散の更新です。

 

 これも同様に公式に当てはめて展開していくと

 ソースと一致します。

 

 説明は以上です。これを繰返し更新していくことで状態を推定・更新していきます。私の理解不足なのか、所々腹落ちしていないのですが、全体がシンプルなソースでわかり易くカルマンフィルターの流れを理解するには分かりやすいかもしれせん。

 

 ただこのフィルター、角速度を単純に積算していて、座標系(センサー、絶対軸)のズレを考慮していません。なので3軸回転には追従しないと思います。加速度センサーではz軸(yaw)回転も算出できないため、z軸回転の補正には別途、地磁気センサー等で角度入力をしないといけないようです。

 

 使用するときにはこの辺に注意した方がよさそうです。

 

 参考サイト

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